9.2 Mistura

Um aspecto adicional da formulação do problema de mistura será ilustrado com um exemplo em que o tamanho do lote é uma variável de decisão.

Assim, parece que a decisão da mistura e a decisão do tamanho do lote devem ser feitas simultaneamente.

Desejamos a mistura da gasolina a partir de três ingredientes: butano, nafta pesada e reformatação catalítica.

Quatro características da gasolina resultante e seus insumos são importantes: custo, número de octanas, pressão de vapor e volatilidade. Essas características estão resumidas na tabela a seguir:

O custo por unidade para Regular e Premium é listado como negativo, o que significa que podemos vendê-los. ou seja, um custo negativo é uma receita.

A octanagem é uma medida da resistência da gasolina. A pressão de vapor e a volatilidade estão intimamente relacionadas. A pressão de vapor é uma medida da suscetibilidade ao travamento, particularmente em um dia de primavera excepcionalmente quente, a volatilidade é uma medida da facilidade com que o motor começa no tempo frio.

Na tabela, vemos neste período de planejamento, por exemplo, existem apenas 1.000 unidades de butano disponiveis. O lucro da gasolina regular é de $18,40 por unidade, excluindo o custo de seus ingredientes.

Uma ligeira simplificação assumida neste exemplo é que a interação entre os ingredientes é linear. Por exemplo, se uma mistura “50 / 50” de MAS e CAT for feita, então sua octana será 0,5 × 120 + 0,5 × 100 = 110 e sua volatilidade será 0,5 × 105 + 0,5 × 3 = 54. Na realidade, essa linearidade é levemente violada, especialmente no que diz respeito ao índice de octanas.

Formulação

As restrições de qualidade exigem um pouco de pensamento. As frações de um lote de gasolina REG consistindo de BUT, CAT e NAP, são BUT / REG, CAT / REG e NAP / REG, respectivamente.

Assim, se o deus da linearidade sorri para nós, a restrição de octano da Mistura para REG deve ser a expressão: (BUT / REG) × 120 + (CAT / REG) × 100 + (NAP / REG) × 74 ≥ 89.

Essa expressão, no entanto, pode ser uma carranca porque a proporção de variáveis como BUT / REG definitivamente não é linear.

Multiplicando através de REG, no entanto, produz a restrição linear: 120 BUT + 100 CAT + 74 NAP ≥ 89 REG ou em formato padrão:

120 * BUT + 100 * CAT + 74 * NAP – 89 * REG ≥ 0.

Representando restrições de dois lados

Todos os requisitos de qualidade são de dois lados. Ou seja, eles têm um limite superior e um limite inferior. A restrição de limite superior na octanagem é claramente: 120 * BUT + 100 * CAT + 74 * NAP – 110 REG ≤ 0.

Podemos escrevê-lo em forma de igualdade, adicionando uma folga explícita:

120 * BUT + 100 * CAT + 74 * NAP – 110 * REG + SOCT = 0.

Quando SOCT = 0, o limite superior é obrigatório. Você pode verificar que, quando SOCT = 110 * REG – 89 * REG = 21 REG, o limite inferior é vinculativo. Assim, uma maneira compacta de escrever os limites superior e inferior é com as duas restrições: 120*BUT + 100*CAT + 74*NAP-110*REG + SOCT = 0, SOCT ≤ 21 REG.

Observe que, embora possa haver muitos ingredientes, a segunda restrição envolve apenas duas variáveis. Essa é uma maneira compacta de representar restrições de dois lados. Argumentos semelhantes podem ser usados para desenvolver as restrições de vapor e volatilidade. Finalmente, uma restrição deve ser anexada, que afirma que o todo é igual à soma de suas partes de matéria-prima, especificamente: REG = BUT + NAP + CAT.

Em suma sugere que a gasolina premium é o produto mais lucrativel, então nós vendemos a quantia mínima de Regular requerida e depois vendemos tanto premium quanto os escassos Recursos, BUT e CAT, permitidos. Os modelos LP de mistura têm sido uma ferramenta operacional padrão em refinarias por anos.

Recentemente, tem havido alguns casos em que esses modelos LP foram substituídos por modelos não lineares mais sofisticados, que se aproximam mais precisamente das não-linearidades no processo de mistura. Veja Rigby, Lasdon e Waren (1995), para uma discussão de como a Texaco faz isso.

Por exemplo, a volatilidade pode ser representada por uma expressão logarítmica e o octano pode ser representado com um polinômio como a1 * x + a2 * x2 + a3 * x3 + a4 * x4, ver Rardin (1998).

Há uma variedade de complicações como os modelos de gasolina misturadas são feitos mais detalhadas. Por exemplo, na gasolina de alta qualidade, o fornecedor pode querer que a octanagem seja constante nos intervalos de volatilidade dos ingredientes.

A razão é que, se você “pisa” o acelerador em um automóvel sem combustível, uma injeção de gasolina bruta é injetada na entrada. Os componentes altamente voláteis da mistura chegarão primeiro à câmara de combustão. Se esses componentes tiverem baixa octanagem, você terá batidas, mesmo que a classificação “média” de octanagem da gasolina seja alta.

Isso pode ser mais importante em uma estação de venda de gasolina para dirigir na cidade do que em um posto em estradas de alta velocidade, onde a maioria das viagens é em velocidade constante.